Построение сечений 10 класс 2012-2013г.г

Тема урока: “Построение сечений многогранников”. Цель урока:   ознакомление с методами построений сечений многогранников; научить строить сечения многогранников( тетраэдра и прямоугольного параллелепипеда) . Этапы урока: Актуализация опорных знаний. Постановка задачи. Изучение нового материала: А) Определение сечения. Б) Методы построений сечений: а) метод следов; б)   Метод вспомогательных сечений   Закрепление материала. Примеры построений сечений методом следов. Подведение итогов урока. Ход урока. Актуализация опорных знаний. Вспомним: какую фигуру называют многогранником; параллелепипедом; тетраэдром; Постановка задачи. Вопросы к классу: - Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость? - Как задается плоскость? - Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной? Изучение нового материала. А) Итак, задача состоит в построении пересечения двух фигур: многогранника и плоскости( рис. 1) . Это могут быть: пустая фигура( а) , точка( б) , отрезок( в) , многоугольник( г) . Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется   сечением многогранника плоскостью. Рис. 1 Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника. Построим и и сследу ем сечения тетраэдра и ответ им на вопрос: Какие многоугольники могут являться сечениями тетраэдра? ( треугольники и четырёхугольники) . - какие многоугольники получаются в сечении параллелепипеда плоскостью? ( Важно число сторон многоугольника) ; [ Предполагаемые ответы: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник. ] - может ли в сечении параллелепипеда плоскостью получиться семиугольник? А восьмиугольник и т. д. ? Почему? Какой можно сделать вывод? Чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью? [ Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника. ] Б) а)   Метод следов   заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т. е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника. б)   Метод вспомогательных сечений   построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след( или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным. Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями   аксиоматического метода   построения сечений многогранников плоскостью. 4. Закрепление материала. Задача 1. Построить сечение призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1   плоскостью, проходящей через точки P, Q, R( точки указаны на чертеже( рис. 3) ) . Решение. Рис. 3 Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА 1 В 1 В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S 1, принадлежащую следу. Аналогично получаем точку S 2   пересечением прямых QR и BC. Прямая S 1 S 2  - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Прямая S 1 S 2   пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D. Аналогично получаем TU и RT. PQRTU – искомое сечение. Задача 2. Построить сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1   плоскостью, проходящей через точки M, N, P( точки указаны на чертеже( рис. 4) ) . Решение. Рис. 4 Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, про х одящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения. Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА 1   в некоторой точке Х. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D, соединим их и получим прямую XN. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A 1 B 1 C 1 D 1, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В 1 С 1   в точке Y. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX. Задача 3( для самостоятельного решения) . Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью, проходящей через точки M, N, P( точки указаны на чертеже( рис. 5) ) . Рис. 5 5. Подведение итогов урока.