Формирование алгоритмической культуры у учащихся как одно из средств развития учебно-интеллектуальных умений.
При целенаправленном формировании и развитии алгоритмической культуры учащихся в процессе обучения математике особую роль играют осмысление задачи, анализ ее содержания, четкое выделение исходных данных и искомых результатов, выявление связей между данными и искомыми, построение процесса преобразования исходных данных в искомый результат.
В ходе формирования алгоритмической культуры у учащихся развиваются такие учебно-интеллектуальные умения как:
- умение чисто и быстро писать;
- диалектически анализировать учебный или другой материал;
- классифицировать материал; обобщать;
- абстрагировать;
- выделять главное, существенное;
- синтезировать материал;
- устанавливать причинно-следственные связи.
а) Решение уравнений:
Изучение уравнений в происходит на протяжении всего школьного курса математики в несколько этапов.
- Подготовительный этап.
Программой традиционной школы предусмотрено знакомство детей с уравнениями первой степени с одной неизвестной.
Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах, деформированных примерах, вида 4+*=5, 4–*=2, *–7=3, и т.п. в процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое).
- Решение простейших уравнений на основе правил.
Далее для обозначения неизвестного числа используют буквы латинского алфавита. Равенство вида 4 + х = 5 называют уравнением. Равенство, где есть буква, называют уравнением.
На данном этапе решение уравнений основано на применении шести правил:
- Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
х+2=3
х=3-2
х=1.
- Чтобы найти неизвестное уменьшаемое нужно к разности прибавить вычитаемое.
х-2=3
х=3+2
х=5
- Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого отнять разность.
5-х=3
х=5-3
х=2
- Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
2·х=6
х=6:2
х=3
- Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
х : 2=3
х=3·2
х=6
- Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
6 : х = 3
х=6 : 3
х=2
Запись решения уравнений осуществляется в столбик.
Особое внимание следует уделять проверке решения уравнения. Учащиеся должны четко знать, усвоить последовательность и смысл действий, выполняемых при проверке: найденное число подставляют вместо буквы в выражение, затем вычисляют значение этого выражения и, наконец, сравнивают его с заданным значением или с вычисленным значением выражения, стоящего в другой части уравнения. Если получаются равные числа, значит, уравнение решено верно.
Дети могут выполнять проверку устно или письменно, но при этом всегда должны быть четко выделены основные ее звенья: подставляем…, вычисляем…, сравниваем…
- Решение уравнений с использованием простейших преобразований.
После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения, включаются более сложные уравнения видов:
48 – х = 16 + 9, а – (60 – 14) = 27, 51 – (х + 15) = 20.
Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений.
Уравнения указанных видов вводятся постепенно. Сначала простейшие уравнения усложняются тем, что их правая часть задается не числом, а выражением, н-р, х+2=3-1. Далее включаются уравнения, в которых известный компонент задан выражением, н-р 5-2-х=1. Полезно учить читать эти уравнения с названием компонентов. Наконец, приступают к решению таких уравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестное число, например: 60 – (х + 7) = 25, (12 – х) + 10 = 18.
При решении уравнений такого вида приходится использовать дважды правила нахождения неизвестных компонентов.
Далее, по мере того как вводятся понятия подобных слагаемых, раскрытия скобок с помощью распределительного закона, решение уравнений проводится в несколько этапов:
- раскрытие скобок;
- приведение подобных слагаемых;
- применение правила.
- Решение уравнений с переносом слагаемых.
На данном этапе уравнения решают с помощью переноса слагаемых, а не по правилу. Для решения уравнений используют следующий алгоритм:
- Раскрыть скобки в каждой части уравнения (если нужно).
- Неизвестные собрать в левой части уравнения, известные в правой части уравнения. ( При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую знак «+» меняем на “ –“, а знак “ – “ на «+».)
- В каждой части уравнения приведи подобные слагаемые.
- Разделить обе части уравнения на коэффициент переменной.
- Выполнить проверку.
Решение систем линейных уравнений:
Алгоритмы решения систем линейных уравнений намного сложнее алгоритма решения линейного уравнения с одним неизвестным. Поэтому при их изучении учитель должен четко указывать последовательность операций, используемых в этих алгоритмах, а также провести изучение каждого действия. Рассматривается три способы решения систем: графический способ, способ подстановки и способ сложения.
Графический способ
- В каждом уравнении системы выразить переменную у через переменную х;
- Построить график каждого уравнения в одной системе координат;
- Координаты точки пересечения – решение системы.
Способ подстановки
- Из любого уравнения системы выразить любую переменную;
- Полученное выражение подставить во второе уравнение и решить его;
- Значение переменной подставить в первое уравнение и решить.
- Значения переменных х и у – решение системы.
Способ сложения
- Умножить уравнения системы почленно, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными;
- Сложить почленно левые и правые части уравнений системы;
- Решить получившееся уравнение с одной переменной.
- Найти соответствующее значение второй переменной.
б) Решение примеров, содержащих более трёх арифметических действий в 6-8 классах:
Вычисление значений сложных выражений требует следующих умений: выделять признаки, на которые опираются правила, соотносить выражение с определенным правилом, выбирать числа для выполнения действий, производить вычисления.
Для отработки порядка выполнения арифметических действий удобна следующая схема: – (горизонтальная схема).
Используется также и вертикальное изображение данной схемы. Горизонтальная схема применяется для расстановки действий в выражениях, а вертикальная – при составлении блок-схемы. Покажем приемы работы с ней.
Вертикальная схема.
Схема выполнения порядка действий (правила) показывает, что:
1) в выражениях со скобками сначала вычисляют значения выражений в скобках. Затем по порядку слева направо выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание;
2) если выражение составлено с помощью арифметических действий первой и второй ступеней, то по порядку слева направо выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание;
3) если выражение составлено с помощью арифметических действий одной ступени, то их выполняют слева направо.
Данная схема работает при вычислении значений выражений любой структуры. Чем проще выражение, тем меньше шагов в блок-схеме его вычисления.
Очень важно правильно оформлять решение примера в 3 и более действий.
Пример 2.
В примере над арифметическим действием расставляют порядковые номера.
(83 · 2 – 66) : 5 = 20.
1) 83 · 2 = 166;
2) 166 – 66 = 100;
3) 100 · 5 = 20;
Пример 2.
1 445 561 : 3 587 - 208) · 356 – 3 580 = 65 840.
1) 1 445 561 : 3 587 = 403;
2) 403 – 208 = 195;
3) 195 · 356 = 69 420;
4) 69 420 – 3 580 = 65 840.
в) Преобразование алгебраических выражений:
Целью тождественных преобразований (Т.П) может быть приведение выражению вида, более удобного для численных расчетов или дальнейших преобразований.
К Тождественным преобразованиям относятся:
- приведение подобных членов
- раскрытие скобок
- разложение на множители
- приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
- избавление от иррациональности в знаменателе и т.п.
В ходе упрощения алгебраических выражений сначала нужно сначала раскрыть скобки или разложить на множители, затем, привести подобные слагаемые.