Решение показательных уравнений

ТЕМА: «РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ». Знать: Определение показательного уравнения, свойства степени положительного числа. Уметь: Решать показательные уравнения. ПЛАН Изучение теоретического материала. Выполнение тренировочного теста. Контрольная работа. Теоретические сведения С в о й с т в а с т е п е н и п о л о ж и т е л ь н о г о ч и с л а Если а& gt; 0, b& gt; 0, r, s – действительные числа, то: а r а s= а r+ s а r: а s= а r- s( а r) s= а r – s( а b) r= а r b r( ab) r= а r/ b r a °= 1 а- r= 1/ а r О п р е д е л е н и е. Показательным называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени. а х= b, где а& gt; 0, а ≠1. Например: 2 х= 4, 3 х- 1= 2х, 3 х= - 9. ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 1. Приведение показательных уравнений к виду а f( x) = а q( x) . Известно, что показательная функция y= а х при а& gt; 0 и а ≠1 возрастает или убывает, поэтому каждое своё значение она принимает только при одном значении аргумента. Из равенства а u= а v следует равенство u= v. Этим утверждением руководствуются при решении показательных уравнений вида а f( x) = а q( x) . Пример 1. Решите уравнение: 2 3 х- 2= 2 10 – х Решение: 3х – 2= 10 – х 3х+ х= 10+ 2 4х= 12 х= 3 Ответ: х= 3. Пример 2. Решите уравнение: ( 72) х ²= ( 27) 4- 5 x Решение: ( 72) х ²= ( 72) 5х- 4 х ²= 5х – 4 х ²- 5х+ 4= 0 х= 1, х= 4 Ответ: х= 1, х= 4. Пример 3. Решите уравнение: 2 х 5 х= 0, 1( 10 х- 1) Решение: 10 х= 10- 1 10 3х- 3 10 х= 10 3х- 4 х= 3х – 4 х – 3х= - 4- 2х= - 4 х= 2 Ответ: х= 2. К уравнениям рассмотренного выше типа приводятся уравнения вида а f( x) = 1( а& gt; 0, а ≠1) путем представления единицы в виде степени числа с нулевым показателем: а f( x) = а 0) . Пример 4. Решите уравнение: 17 х ² – 5х+ 6= 1 Решение: 17 х ² – 5х+ 6= 17 0 х ² – 5х+ 6= 0 х= 2, х= 3. Ответ: х= 2, х= 3. 2. Вынесение общего множителя за скобки. Пример 1. Решите уравнение: 3 х – 2 · 3 х – 2= 63 Решение: 3 х – 2( 3 2 – 2) = 63 3 х – 2 · 7= 63 3 х – 2= 63: 7 3 х – 2= 3 2 х – 2= 2 х= 4 Ответ: х= 4. Пример 2. Решите уравнение: 5 2х – 1- 5 2х+ 2 2х+ 2 2х+ 2= 0 Ре шение: 2 2х+ 2 2х+ 2= 5 2х- 5 2х- 1 2 2х( 1+ 2 2) = 5 2х( 1- 5- 1) 2 2х · 5= 5 2х · 45 2 2х: 5 2х= 425( 25) 2х= ( 25) ² 2х= 2 х= 1 Ответ: х= 1. 3. Приведение показательного уравнения к квадратному. Пример 1. Решите уравнение: 7 2 х- 8 7 х+ 7= 0 Решение: Обозначим 7 х через t, тогда получим: t 2+ 8 t+ 7= 0, t= 1, t= 7. 1) 7 х= 1; 7 х= 7 0; х= 0. 2) 7 х= 7; х= 1. Ответ: х= 0, х= 1. Пример 2. Решите уравнение: 2 2+ х- 2 2- х= 15 Решение: 2 2 · 2 х- 2 2: 2 х= 15 Замена: 2 х= t, 4 t- 4t= 15, 4 t²- 15t – 4= 0 t= 4, t= - 14 2 х= 4, х= 2 2 х= - 14- решения нет. Ответ: х= 2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ Решите уравнения 1. 3 х= 27 1) 4; 2) 3; 3) 6; 4) 2. 2. 2 х= 32 1) 3; 2) 2; 3) 5; 4) 16 3. 5 х – 2= 25 1) 4; 2) 0; 3) 3; 4) 2. 4. 6 х – 3= 36 1) 4; 2) 0; 3) 5; 4) 2. 5. ( 17) х= 49 1) - 2; 2) 0; 3) - 4; 4) 2 6. ( 23) х= 1, 5 1) - 2; 2) 0; 3) - 1; 4) 3 7. 2 х+ 8= 132 1) - 4; 2) 0; 3) - 13; 4) 6. 8. 5 2х- 1= 15 1) - 4; 2) 0; 3) - 3; 4) 1. 9. 3 х+ 2+ 3 х= 90 1) - 3; 2) 0; 3) 2; 4) 6. 10. 3 х- 3 х- 2= 8 1) 2; 2) 1; 3) - 2; 4) 0. 11. 2 · 3 х+ 3- 5 · 3 х- 2= 1443 1) 5; 2) 0; 3) - 2; 4) 3. 12. 10 х+ 10 х- 1= 0, 11 1) 3; 2) 5; 3) - 2; 4) - 1. 13. 4 х- 3 х – 0, 5= 3 х+ 0, 5- 2 2х- 1 1) 1, 5; 2) - 3; 3) 1; 4) - 4. 14. 3 2 х- 30 · 3 х+ 81= 0 1) 3; 0 2) - 1; 2 3) 1; 3 4) - 1; 7 15. 7 2 х- 8 · 7 х+ 7= 0 1) 0; 1 2) - 2; 4 3) - 3; 3 4) - 1; 0 16. 4 х+ 2 х+ 1= 80 1) 0; 2) - 2; 2; 3) 3; 4) - 1; 0 17. 2 2х- 1+ 2 х+ 2= 64 1) 1; - 3; 2) - 2; 6; 3) - 3; 4) 3. 18. 4 х- 2 х+ 3+ 16= 0 1) 0; - 1 2) 2; 3) - 3; 4) - 8; 0 19. 2 2+ х- 2 2- х= 6 1) 1; 2) 0; 2; 3) 3; 4) - 1. 20. 2 · 7 3х- 5 · 49 3х+ 3= 0 1) 1; 4; 2) 0; 3) - 3; 1; 4) - 2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Карточка I 1. Дайте определение показательного уравнения. Перечислите способы его решения. 2. Решите уравнение: 95х+ 1= ( 13) 6- 4х 3. Решите уравнение: 22+ х+ 2х= 5 4. Решите уравнение: 9х- 6 · 3х- 27= 0 5. Решите уравнение: 64х= 12+ 8х 6. Решите уравнение: 4х+ х²- 2- 5· 2х- 1+ х²- 2= 6 Карточка II 1. Сформулируйте свойства степени положительного числа. Перечислите способы решения показательных уравнений. 2. Решите уравнение: 32· 82х+ 1= 43- 2х 3. Решите уравнение: 5х+ 1- 3 · 5х- 2= 122 4. Решите уравнение: 9х- 2 · 3х= 63 5. Решите уравнение: 2 · 81- х= 5 · 9- х+ 3 6. Решите уравнение: 4х- 2+ 16= 10 · 2х- 2