Логарифмы и их свойства

ТЕМА: «ЛОГАР ИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА» Знать: Определение логарифма, основные свойства логарифмов. Уметь: Выполнять тождественные преобразования логарифмических выражений. ПЛАН Изучение теоретического материала. Выполнение тренировочного теста. Контрольная работа. Теоретические сведения О п р е д е л е н и е. Логарифмом числа b по основанию а( а& gt; 0; а ≠1) называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b; l og a b= x ↔ a x= b. Например, log 5 125= 3, т. к. 5³= 125; log 3 3= 2, т. к. ( 3) ²= 3, log 0, 5 16= - 4, т. к. ( 0, 5) - 4= 16. lg b – обозначение десятичного логарифма, т. е. логарифма числа b по основанию 10, ln b – обозначение натурального логарифма, т. е. логарифма числа b по основанию е( е= 2, 7. . . ) . Из определения логарифма следует о с н о в н о е л о г а р и ф м и ч е с к о е т о ж д е с т в о: а log a b= b( а& gt; 0, а ≠1, b& gt; 0) . Согласно этому тождеству: 3 log 3 5= 5; 7² log 7 8= ( 7 log 7 8) ²= 8²= 64. С в о й с т в а л о г а р и ф м о в( а& gt; 0, а ≠1, b& gt; 0, с& gt; 0) : l og а а= 1 log а 1= 0 log а( b·c) = log a b+ log a c log a bc= log a b – log a c log a b p= p log a b log a b= logcblogca, с ≠1. ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ 1. Найдите логарифм числа 64 по основанию 4. Решение: log 4 64= 3, так как 4 3= 64. Ответ: 3 2. Найдите число x, если log 5 x= 2 Решение: log 5 x= 2, x= 5 2( по определению логарифма) , x= 25. Ответ: 25. 3. Вычислить: log 3 1/ 81= x, Решение: log 3 1/ 81= x, 3 x= 1/ 81, x= – 4. Ответ: – 4. 4. Вычислить: 5 log 5 4 Решение: 5 log 5 4= 4, по основному логарифмическому тождеству а log a b= b Ответ: 4. 5. Вычислить: log 6 12+ log 6 3 Решение: log 6 12+ log 6 3= log 6( 12* 3) = log 6 36= log 6 6 2= 2 Ответ: 2. 6. Вычислить: log 5 250 – log 5 2. Решение: log 5 250 – log 5 2= log 5( 250/ 2) = log 5 125= 3 Ответ: 3. 7. Вычислить: 27 log 3 2 Решение: 27 log 3 2= 3 3log 3 2= 3 log 3 8= 8 Ответ: 8. 8. Прологарифмировать по основанию 2: 16 а 2( b 5 c) 1/ 2/ 3 m Решение: log 2( 16 a 2( b 5 c) 1/ 2/ 3 m) = log 2( 16 a 2( b 5 c) 1/ 2) – log 2( 3 m) = log 2 16+ log 2 a 2+ log 2( b 5 c) 1/ 2 – log 2 3 – log 2 m= 4+ 2log 2 a+ 5/ 2log 2 b+ 1/ 2log 2 c – log 2 3 – log 2 m Ответ: 4+ 2log 2 a+ 5/ 2log 2 b+ 1/ 2log 2 c – log 2 3 – log 2 m. 9. Найдите число x: log 2 x= 2 log 2 5 – 1/ 3 log 2 8+ log 2 0, 2 Решение: log 2 x= 2log 2 5 – 1/ 3log 2 8+ log 2 0, 2 log 2 x= log 2 5 2 – log 2 8 1/ 3+ log 2 0, 2 log 2 x= log 2 25* 0, 2/ 2 log 2 x= log 2 2, 5 x= 2, 5 Ответ: 2, 5. 10. Вычислить: log V_ 3 1/ 3 – log 0, 2 5+ log 64 4 Решение: log V_ 3 1/ 3 – log 0, 2 5+ log 64 4= – 2+ 1+ 1/ 3= – 2/ 3 Ответ: – 2/ 3. 11. Вычислить: 4 1, 5 – log 16 25 Решение: 4 1, 5 – log 16 25= 4 1, 5/ 4 log 16 25= 2 3/ 4 log 4 25/ log 4 16= 8/ 25 1/ 2= 8/ 5= 1, 6 Ответ: 1, 6. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ 1. Найдите логарифм числа 8 по основанию 2. 1) 4; 2) 3; 3) 6; 4) 2. 2. Найдите логарифм числа 1/ 27 по основанию 3. 1) –3; 2) 3; 3) 9; 4) 6. 3. Найдите логарифм числа 81 по основанию 3. 1) 5; 2) 4; 3) 8; 4) 27. 4. Найдите число x: log 3 x= – 1 1) 4; 2) –3; 3) 1/ 3; 4) 3. 5. Найдите число x: log V_ 5 x= 0 1) 5; 2) 1; 3) 25; 4) 1/ 5. 6. Найдите число x: log x 27= 3 1) 3; 2) 9; 3) 81; 4) 1/ 3. 7. Вычислить: log 4 16 1) 4; 2) 12; 3) 2; 4) 8. 8. Вычислить. log 5 1/ 25 1) 5; 2) – 5; 3) – 2; 4) 1. 9. Вычислить: log 1/ 7 49 1) – 2; 2) 2; 3) – 7; 4) 7. 10. Вычислить: log р р 1) 0; 2) 1; 3) –1; 4) 3. 11. Вычислить: log 6 1 1) 0; 2) 1; 3) – 2; 4) 6. 12. Вычислить: log 3 V_ 3 1) 2; 2) 1/ 2; 3) – 2; 4) 0. 13. Вычислить: 2 log 2 4 1) 2; 2) 4; 3) 8; 4) 6. 14. Вычислить: 10 l g100 1) 100; 2) 10; 3) 1/ 10; 4) 1. 15. Вычислить: ( 1/ 2) log 1/ 2 1 1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) 4. 16. Вычислить: 0, 3 log 0, 3 2 – 5 1) – 4, 91; 2) – 4, 7; 3) – 3; 4) 2. В разделе 1 содержится 16 заданий, каждое из которых оценивается в 1 балл. Если ученик набрал не менее 12 баллов, то он может переходить к разделу 2. Раздел 2. 1. Найдите значение выражения: log 2 16+ log 2 2 1) 4; 2) 5; 3) 6; 4) 4, 5. 2. Найдите значение выражения: log 12 36+ log 12 4 1) 2; 2) 12; 3) 0; 4) 40. 3. Найдите значение выражения: log 2 7 – log 2 7/ 16 1) 3; 2) 4; 3) 1; 4) 16. 4. Найдите значение выражения: log 3 27/ a 2, если log 3 a= 0, 5 1) 2, 75; 2) 2; 3) 3; 4) 5. 5. Найдите значение выражения: 4 2log 4 3 1) 9; 2) 1; 3) 6; 4) 8. 6. Найдите значение выражения: ( 1/ 2) 4log 1/ 2 3 1) 0; 2) 81; 3) 12; 4) 1/ 2. 7. Найдите значение выражения: log 0, 3 9 – 2log 0, 3 10 1) 2; 2) 1; 3) – 2; 4) 90. 8. Найдите значение выражения: log 12 9/ 144 – log 12 9 1) 1; 2) 2; 3) – 2; 4) 12. 9. Определить верное равенство: 1) log 3 24 – log 3 8= 16; 2) log 3 15+ log 3 3= log 3 5; 3) log 5 5 3= 2; 4) log 2 16 2= 8. 10. Определить верное равенство: 1) 3log 2 4= log 2( 4* 3) ; 2) 3log 2 3= log 2 27; 3) log 3 27= 4; 4) log 2 2 3= 8. 11. Найдите значение выражения: log 3 6+ log 1/ 3 2 1) 2; 2) 4; 3) 1; 4) 12. В разделе 2 содержится 11 заданий, каждое из которых оценивается в 1 балл. Если ученик набрал не менее 8 баллов, то может переходить к следующему разделу 3. Раздел 3. 1. Прологарифмировать по основанию 10: 100( a b 3 c) 1/ 2 1) 2+ 1/ 2lg a+ 3/ 2lgb+ 1/ 2lgc; 2) lg a+ 3/ 2lgb+ l1/ 2lgc; 3) 1/ 2lg a+ lgb+ lgc+ 2; 4) 2lg a+ 3lgb+ 2lgc+ 2. 2. Прологарифмировать по основанию 2: 16а 6 V_ b 3 1) 8+ log 2 a+ 3log 2 b; 2) 4+ 6log 2 a+ 3/ 2log 2 b; 3) 6log 2 a+ 3/ 2log 2 b; 4) 16+ 6log 2 a+ 3/ 2log 2 b. 3. Найдите число x: lg x= 1/ 2lg9 – 2/ 3lg8 1) 3/ 4; 2) 4/ 3; 3) 3/ 2; 4) 6. 4. Найдите число x: lg x= lg12+ lg15 – lg18 1) 10; 2) 1; 3) 0, 1; 4) 3/ 2. 5 Н айдите число x: log 6 x= 3log 6 2+ 0, 5log 6 25 – 2log 6 3 1) 40/ 9; 2) 360; 3) – 6; 4) 46. 6. Вычислить: ( lg8+ lg18) / ( 2lg2+ lg3) 1) 2; 2) lg12; 3) 3; 4) 10. 7. Вычислить: log 125 5 – log V_ 2 1/ 2+ log 2, 5 0, 4 1) 4/ 3; 2) – 3, 5; 3) 0; 4) 4. 8. Вычислить: 9 log 3 6 –1, 5 1) 4/ 3; 2) 3/ 4; 3) 1, 5; 4) 6. 9. Вычислить: 2 log 2 3+ log 7 2 – log 7 14 1) 2; 2) 7; 3) 2+ 2log 7 2; 4) 3. 10. Упростить выражение: log 2 0, 04+ 2log 2 5 1) 0; 2) 3; 3) –1; 4) 10. 11. Упростите выражение: 25 1+ log 5 3 1) 225; 2) 125; 3) 625; 4) 25. 12. Упростите выражение: 6 log 5 0, 2+ log 6 15 1) 2, 5; 2) 15log 5 0, 2; 3) 5/ 6; 4) 15. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Карточка I 1. Дайте определение логарифма данного числа по данному основанию. Запишите основное логарифмическое тождество. Из чего оно следует? 2. Вычислите log 49 7. 3. Вычислите 3 2+ l og 3 8 4. Решите уравнение 5 х= 3. 5. Найдите х, если lgx= ½ lg 6+ 2 lg 3. 6. Верно ли равенство lg х 2= 2 lg х? 7. Вычислите log V_ 3 3 2+ log 3 1/ 2 8. Найдите значение выражения logа5а²b, если log a b= 13. Карточка 2. Сформулируйте основные свойства логарифмов. 2. Вычислите log 27 3. 3. Вычислите 8 l og 8 5- 1 4. Решите уравнение 2 х= 5. 5. Найдите х, если lgx= 2 lg 5- 3 lg 2. 6. Определите знак числа log 2 3+ log 2 0, 09. 7. Вычислите log 4 12- log 16 9. 8. Найдите значение выражения loga6ba³, если log a b= 17.