Логарифмические уравнения

ТЕМА: «РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ». Знать: Определение логарифмического уравнения, свойства логарифмов. Уметь: Решать логарифмические уравнения. ПЛАН Изучение теоретического материала. Выполнение тренировочного теста. Контрольная работа. Теоретические сведения Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или( и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида log a x= b. ( 1) Утверждение 1. Если a& gt; 0, a ≠ 1, уравнение( 1) при любом действительном b имеет единственное решение x= a b. Пример 1. Решить уравнения: a) log 2 x= 3,       b) log 3 x= - 1,       c) Решение. Используя утверждение 1, получим a) x= 2 3 или x= 8;     b) x= 3- 1 или x= 1/ 3;     c) или x= 1. Основное логарифмическое тождество: где a& gt; 0, a ≠ 1 и b& gt; 0. С в о й с т в а л о г а р и ф м о в( а& gt; 0, а ≠1, b& gt; 0, с& gt; 0) : l og а а= 1 log а 1= 0 log а( b·c) = log a b+ log a c log a bc= log a b – log a c log a b p= p log a b log a b= logcblogca, с ≠1. I. Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма. П р и м е р 1. Решите уравнение log3( 2х+ 1) = 2. Р е ш е н и е. По определению логарифма имеем: 2х+ 1= 32, 2х= 8, х= 4. Проверка: log3( 2 ·4+ 1) = log39= 2. Ответ: 4. П р и м е р 2. Решите уравнение logх+ 1( 2х2+ 1) = 2. Р е ш е н и е. По определению логарифма имеем: 2х2+ 1= ( х+ 1) 2, 2х2+ 1= х2+ 2х+ 1, х2- 2х= 0, х 1= 0, х 2= 2. Проверка: 1) Значение х= 0 не может быть корнем данного уравнения, так как основание логарифма х+ 1 не должно равняться 1. 2) log2+ 1( 2·22+ 1) = log39= 2. Ответ: 2. П р и м е р 3. Решите уравнение logπlog2log33х= 0 Р е ш е н и е. Применяя последовательно определение логарифма, получим: log2log33х= π0, log2log33х= 1, log33х= 21, log33х= 2, 3х= 32, 3х= 9, х= 3. Проверка: logπlog2log33·3= logπlog2log39= logπlog22= logπ1= 0. Ответ: 3.