Конспект урока тригонометрические уравнения

Алгебра 11 класс Пла н- конспект урока по теме: « Решение тригонометрических уравнений». Цели урока: Обучающие: обобщение  и систематизация знаний и способов действий; проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий; обучение самоконтролю, быстрому переключению с одного типа заданий на другой; повторить основные теоретические сведения по тригонометрии; повторить формулы тригонометрии, методы преобразования выражений; рассмотреть примеры заданий выпускных экзаменов. Развивающие: развитие самостоятельности, внимательности; формирование умения выбирать оптимальную стратегию при решении конкретной задачи и работы в целом; развитие умения аргументировано участвовать в обсуждении решений; развитие наглядно- действенного творческого воображения; Воспитательные: формирование культуры математической речи; содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности; воспитание коммуникативной и информативной культуры учащихся. Тип урока: урок- практикум. Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная. Методы обучения: частично- поисковый, тестовая проверка уровня знаний, системные обобщения, самопроверка, самооценка, самоконтроль, работа по опорным схемам. Оборудование: интерактивная доска, мультимедийный проектор, компьютер, бланки для записи ответов, таблицы, блоки тригонометрических уравнений. К уроку подготовлена презентация. С ее помощью проводится устная работа, повторение ранее изученного материала, рассматриваются различные виды тригонометрических уравнений и способы их решения. Структура урока: Организационный момент. ( 1- 2 мин. ) Первичное повторение знаний и умений на уровне воспроизведения. ( 10- 12 мин. ) Систематизация и обобщение знаний и умений при выполнении заданий. ( 25- 30 мин. ) Подведение итогов урока, определения домашнего задания и инструктажа по его выполнению. ( 3- 5 мин. ) Ход урока: Сегодня от вас потребуется: и умение размышлять( при выполнении каждого задания) , и умение подражать( точное знание формул и их применение) , и опыт( навык преобразования тригонометрических выражений) . И я надеюсь, что все эти пути действительно приведут вас к знаниям, которые позволят вам в будущем успешно сдать выпускной экзамен и продолжить свое образование в Вузах. Тема нашего урока" Решение тригонометрических уравнений" . Сегодня мы повторим формулы, вспомним способы решения тригонометрических уравнений и разберем часть примеров. И ещё: именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов. Итак, начнем с устной разминки: 1 задание Какие основные тригонометрические функции вы знаете? Иоганн БЕРНУЛЛИ – швейцарский математик, который впервые ввел современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos в 1739 г. в письме к петербургскому математику Леонарду Эйлеру. Эйлер пришел к выводу, что эти обозначения очень удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Основное тригонометрическое тождество Sin π3, tg π4, Cos π3, Sin π Восстановите формулы Sin 2 α 2 Cos 2 α- 1 Cos( π- α) 1+ tg 2 α tg α · ctg α 1- С os 2 α Применим данные формулы для решения заданий. ( самостоятельно с последующим обсуждением и проверкой) 2 задание Найдите значение выражения: 3 задание А теперь нам предстоит вспомнить формулы для решения тригонометрических уравнений, а также частные случаи: Основной прием решения любого уравнения- это приведение его к равносильному, более простому уравнению. Решение произвольных тригонометрических уравнения сводится к решению простейших уравнений в ида sin x= a, cos x= a, tg х= a. При переходе от одного уравнения к другому пользуются общими методами решения уравнений и формулами тождественных преобразований тригонометрических выражений. Сегодня на уроке необходимо рассмотреть на примерах применение основных методов к решению тригонометрических уравнений. 4 задание Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений: ( ±) ( - 1 k) ( π k) ( π k) 5 задание Решение уравнений с взаимопроверкой: 1. sin x= 0 2. cos x= - 1 3. cos 3x= - / 2 4. sin 0, 5 x= 1 5. tg 4 х= После истечения времени ученики меняются тетрадями и проверяют работу соседа. При оценке работы учитывается не только правильность выполнения работы, но и количество выполненных заданий. Ответ: 1. х= πк, кЄ Z 2. х= π+ 2πк, кЄ Z 3. х= + 2 π/ 9+ 2πк/ 3, кЄ Z 4. х= π+ 4πк, кЄ Z 5. х= π/ 1 6+ πк/ 4, кЄ Z Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». Если вы знаете свойства тригонометрических функций, их значения, формулы тригонометрии, то с решением не будет никаких трудностей. Решение более сложных тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Какие методы преобразования вам известны? Решение уравнений методом разложения на множители. Приведение данного уравнения к квадратному относительно одной тригонометрической функции с последующей заменой переменной и подстановкой. Алгебраический метод. Решение однородных уравнений первой и второй степени. Уравнение называется однородным относительно  sin   и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin   и cos   одного и того же угла. Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах. 1) Решить уравнение: 2 sin x · cos 5 x – cos 5 x= 0. Решение: с os 5 x( 2 sin x – 1) = 0, 1) sin x= 1/ 2, 2) cos 5 x= 0, х= ( - 1) k π/ 6+ π k, k Є Z. х= π/ 10+ π n/ 5, n Є Z 2) Решить уравнение: 2 cos 2 x+ 3 sin x= 0. Решение: т. к. cos 2 x= 1- sin 2 x, 2( 1- sin 2 x) - 3 sin x= 0, 2 sin 2 x- 3 sin x- 2= 0. sin x= t, t= - 1/ 2, t= 2 sin x= - 1/ 2 или sin x= 2- решений не имеет х =  ( - 1) k   arcsin( - 1/ 2) + πk x =  ( - 1) k+ 1 π/ 6+ πk, k Є Z. 3) Решение однородных уравнений первой и второй степени. Однородными называются уравнения вида a ·sin x+ b ·cos x= 0- первой степени, a · sinx+ b ·sin x ·cos x+ c ·cos x= 0- второй степени и т. д. , где a, b, c- числа. Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cos x или sin x. Решить уравнение: sin x- 3 cos x= 0.   Решение: sin x- 3 cos x= 0, разделим обе части уравнения на   cos x t g x- 3= 0 t g x= 3 х= π/ 3+ π n, n Є Z Выберите среди данных уравнений однородное уравнение первой степени и решите его: с os x – sin 3x= 0; 2) cos x – 3sin x= 0; 3) cos x – 3sin x= 2; 4) cos² x – 3sin x= 0. cos x – 3sin x= 0 Ответ: arctg 13+ πn, n Z 1 уровень Самостоятельная работа. Решить уравнения: 1. 8 cos 2 x – 6 cos x – 5= 0. 2. sin 2 x+ sinx= 0. 3. sinx – cosx= 0. 4. sinx+ cosx= 2. 2 уровень Вы освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях. Достаточно часто в задачах на решение тригонометрических уравнений и систем требуется указать не общее решение, демонстрирующее бесконечное семейство корней, а выбрать только несколько из них, которые лежат в определенном диапазоне значений. На этом основаны решения заданий выпускных экзаменов 1517651892304817110154940а) Решите уравнение. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку Ответ: 393890567945198755067945436245104775 а) 436245147955 б) Подведем итог урока. Итак, мы повторили основные методы решения тригонометрических уравнений. Дома необходимо решить уравнения, разделяя их по методам решения. Решите уравнения: 5sin 2 x+ 6cosx- 6= 0 2tg 2 x+ 3tgx- 2= 0 4sin 2 x- 1= 0 cos 2 x+ cosx·sinx= 0 3 tg x+ 3= 3/ cos 2 x sin2x+ sin 2 x= 4cos 2 x Индивидуальное задание сайт Решу ЕГЭ, ( С1) . - 2 уровень. Вопрос классу: «Оцените своё самочувствие на уроке, поставив какой- либо значок на графике функции у= sin х, изображенной н а доске. Где вы себя ощущали: на гребне волны синусоиды или во впадине? Хочется закончить урок словами Я. А. Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.